旅人算の問題24問と解き方

1分間にAさんが72m、Bさんが84m進むので、2人の間隔は72＋84＝156（m）ずつ縮まります。

はじめの間隔1560mが0mになるまでの時間は、1560÷156＝10（分）です。

答え：10分後

検算：Aさんは72×10＝720m、Bさんは84×10＝840m進みます。720＋840＝1560mで、2人の道のりの合計がPとQの間の距離と一致します。

向かい合って近づくときは、2人が進んだ分を足します。

1分間に2人が進む道のりの合計は、65＋85＝150（m）です。

12分間の合計は150×12＝1800（m）。これがPとQの間の距離です。

答え：1800m

検算：Aさんの道のり780mと、Bさんの道のり1020mを足すと1800mです。

出会うまでに2人が通った道をつなぐと、はじめの2地点間になります。

2人合わせて1分間に2100÷14＝150（m）ずつ間隔を縮めています。

そのうちAさんの分が90mなので、Bさんの速さは150－90＝60（m/分）です。

答え：分速60m

検算：90×14＋60×14＝1260＋840＝2100mです。

距離を時間で割って分かるのは、まず2人の速さの合計です。

2.7km＝2700m。Aさんの速さは4200÷60＝70（m/分）、Bさんは4800÷60＝80（m/分）です。

1分間に70＋80＝150（m）近づくので、2700÷150＝18（分）です。

答え：18分後

検算：時速のままなら2.7÷（4.2＋4.8）＝0.3時間。0.3×60＝18分になります。

時間の答えを分で求めるなら、距離をm、速さをm/分にそろえると扱いやすくなります。

Bさんが出発するまでに、Aさんは60×8＝480（m）進んでいます。その時点の間隔は1680－480＝1200（m）です。

Bさんの出発後は1分に60＋90＝150（m）近づきます。1200÷150＝8（分）です。

答え：Bさんの出発から8分後

検算：Aさんは合計16分で960m、Bさんは8分で720m。合計1680mです。

求められた時間の起点はBさんの出発です。先に進んだ8分を答えに足しません。

2人の速さの合計は1960÷14＝140（m/分）です。

比の合計は3＋4＝7なので、比の1に当たる速さは140÷7＝20（m/分）。Aさんは20×3＝60、Bさんは20×4＝80（m/分）です。

答え：A：分速60m、B：分速80m

検算：速さの比60：80＝3：4、道のりの合計（60＋80）×14＝1960mです。

同じ時間に進むときは、道のりの比も速さの比と同じです。

1分後にはAさんが90m進む間にBさんも60m進むため、間隔は90－60＝30（m）縮まります。

360mの間隔を縮めるには360÷30＝12（分）かかります。

答え：12分後

検算：Aさんの道のり1080mから、Bさんの道のり720mを引くと、初めの間隔360mになります。

同じ向きに進むときは、相手が進んだ分を差し引きます。

Aさんが出発したとき、Bさんは70×6＝420（m）先にいます。

Aさんは1分間に100－70＝30（m）ずつ間隔を縮めるので、420÷30＝14（分）後に追いつきます。

答え：Aさんの出発から14分後

検算：Aさんは100×14＝1400m。Bさんは先に歩いた6分を含めて70×（6＋14）＝1400m。同じ位置になります。

6分の出発時刻の差を、そのまま速さの差で割ることはできません。まず距離の差に直します。

450mの間隔が15分でなくなるので、速さの差は450÷15＝30（m/分）です。

AさんはBさんより分速30m速いため、55＋30＝85（m/分）です。

答え：分速85m

検算：85×15－55×15＝1275－825＝450mです。

間隔÷時間で求まる30は、Aさん自身の速さではありません。

Bさんは3600÷60＝60（m/分）、Aさんは4800÷60＝80（m/分）です。

速さの差は80－60＝20（m/分）。300÷20＝15（分）かかります。

答え：15分

検算：15分でAさんは1200m、Bさんは900m進み、その差は300mです。

300mを時速1.2kmで直接割らず、距離と速さの単位をそろえます。

Aさんが出発した時点の間隔は60×10＝600（m）です。

速さの差100－60＝40（m/分）より、追いつくまで600÷40＝15（分）です。

午前8時10分の15分後なので、午前8時25分です。

答え：午前8時25分

検算：Bさんは25分で1500m、Aさんは15分で1500m進みます。

何分後かと、時計が何時何分を指すかを区別します。

Bさんは30分歩いたので、追いついた場所は家から60×30＝1800（m）です。

Aさんが1800mを進む時間は1800÷90＝20（分）です。

追いついた午前9時30分から20分戻すと、午前9時10分になります。

答え：午前9時10分

検算：出発時の間隔は60×10＝600m。速さの差30m/分で20分追いかけると600m縮まります。

追いついたときの位置が同じことから、先に道のりを求められます。

反対向きに歩く2人が初めて再び出会うまでに、2人の進んだ道のりを合わせるとちょうど1周分になります。

1分間に合わせて60＋100＝160（m）進むので、960÷160＝6（分）です。

答え：6分後

検算：Aさん360m、Bさん600mで、合計は1周分の960mです。

出発時に同じ場所にいることは『出発後の出会い』の回数には含めません。

同じ向きに同時出発した2人が再び重なるには、AさんがBさんより1周分多く進む必要があります。

1分間に90－60＝30（m）ずつ道のりの差が増えるので、1200÷30＝40（分）です。

答え：40分後

検算：Aさんは3600mで3周、Bさんは2400mで2周。ともに出発地点に戻っています。

初めに間隔が0mでも答えは0分ではありません。『1周多く進む』という条件を使います。

1回出会った場所から次に出会うまでに、2人の道のりの合計は1周分になります。

1分間の合計は70＋80＝150（m）。12分間で150×12＝1800（m）です。

答え：1800m

検算：12分間でAさん840m、Bさん960m。合わせて1800mです。

出会う場所が毎回同じでなくても、連続する出会いの間に合計1周進みます。

出会う間隔は1440÷（80＋100）＝8（分）です。

出発後の出会いは8分後、16分後、24分後なので、3回目は24分後です。

答え：24分後

検算：24分間の道のりの合計は180×24＝4320mで、1440mの3周分です。

回数を数えるときは、出発時を含めるかどうかを問題文で確かめます。

1分間に増える道のりの差は105－70＝35（m）です。1周分の差がつくまで1260÷35＝36（分）かかります。

Aさんが36分間に進む道のりは105×36＝3780（m）です。

答え：3780m

検算：Bさんは70×36＝2520m。3780－2520＝1260mで、道のりの差が1周分です。

1周1260mは2人の道のりの差であり、Aさん自身の道のりではありません。

今回は初めの間隔が進行方向に沿って300mあります。1分間に縮まる間隔は80－60＝20（m）です。

300÷20＝15（分）で初めて追いつきます。

答え：15分後

検算：Aさんは1200m、Bさんは900m進みます。Aの出発地点から測るとBも300＋900＝1200mの位置です。

初めの位置が違う場合、初めて追いつくまでに1周分の差をつけるとは限りません。

初めの出会いは900÷（90＋60）＝6（分）後です。Aさんは10分後にQ、Bさんは15分後にPへ着きます。

15分後、AさんはQから5分戻っているので、Pから900－90×5＝450（m）の位置にいます。BさんはPで折り返したところです。

そこから向かい合うので450÷150＝3（分）後に出会います。出発から15＋3＝18（分）後です。

答え：18分後

検算：18分後のAの位置はPから180m。BもPで折り返して3分進んだ180mの位置です。10〜15分の間隔は600mから450mへ縮むだけなので、その間に出会ってはいません。

折り返すたびに進行方向が変わります。時点を区切って位置を確かめます。

AさんがQに着くのは900÷90＝10（分）後。その時BさんはPから60×10＝600（m）の位置なので、間隔は300mです。

Aさんの折り返し後は向かい合って進みます。300÷（90＋60）＝2（分）後に出会います。

出発からの時間は10＋2＝12（分）です。

答え：12分後

検算：AさんはQから180m戻り、Pから720mの位置。Bさんも60×12＝720mの位置です。

折り返す前は速さの差、折り返した後は速さの和で間隔が変わります。

初めの4分で間隔は（100－60）×4＝160（m）縮まり、240－160＝80（m）になります。まだ追いついていません。

Aさんが2分止まる間にBさんは60×2＝120（m）進むので、間隔は80＋120＝200（m）へ広がります。

再び歩き始めてから追いつくまで200÷（100－60）＝5（分）。休憩を含めた時間は4＋2＋5＝11（分）です。

答え：追いかけ始めてから11分後

検算：Aさんは休憩を除く9分で900m進みます。Bさんの位置は初めの240mに60×11＝660mを足した900mです。

休憩の間も相手は動き続けます。初めの追いつく時間に休憩時間を足すだけでは求まりません。

初めの5分で2人合わせて160×5＝800（m）進み、間隔は1920－800＝1120（m）になります。

Aさんの休憩4分間にはBさんだけが80×4＝320（m）進み、間隔は1120－320＝800（m）です。

再出発後は800÷160＝5（分）で出会います。合計5＋4＋5＝14（分）後です。

答え：14分後

検算：Aさんは10分で800m、Bさんは14分で1120m進み、合計1920mです。

両方が動く区間と片方だけが動く区間で、間隔の変わり方を分けます。

反対向きの条件から、速さの和は1800÷12＝150（m/分）です。同じ向きの条件から、速さの差は1800÷60＝30（m/分）です。

和150から差30を引いた120は、遅いBさんの速さ2人分です。Bさんは120÷2＝60（m/分）。

Aさんは60＋30＝90（m/分）です。

答え：A：分速90m、B：分速60m

検算：（90＋60）×12＝1800m、（90－60）×60＝1800m。両方の条件を満たします。

和と差が分かれば、線分をそろえる和差算で2人の速さを求められます。

Aさんの再出発は最初の出発から10分後。この時点でAさんは100×6＝600（m）、Bさんは60×（10－8）＝120（m）進んでいます。

再出発時の間隔は2400－600－120＝1680（m）。2人は1分間に100＋60＝160（m）ずつ近づきます。

1680÷160＝10.5（分）なので、最初の出発から10＋10.5＝20.5（分）後です。0.5分＝30秒より、20分30秒後です。

答え：20分30秒後

検算：Aさんは休憩を除いた16.5分で1650m、Bさんは12.5分で750m。合計2400mです。

2人がともに動き始める時点を選び、その時点の位置を確定すると条件を整理できます。