| 第1回・大問1 | (1) | 3/7 | 外側の差から中かっこは5/3。1/2+1/6=2/3なので、3/2÷(□÷6+4/7)=7/3。よって□÷6+4/7=9/14、□=3/7。 |
| 第1回・大問1 | (2) | 1500円 | 原価を1個c円とすると定価は1.2c円、1割引価格は1.08c円。利益は70×1.2c+30×1.08c-100c=16.4cなので、16.4c=24600からc=1500。 |
| 第1回・大問1 | (3) | 133本 | 100本を飲んで空き瓶100本。交換後に飲むと空き瓶が1本戻るため、牛乳1本を増やすたび空き瓶は実質3本減る。追加本数は(100-1)÷3=33本で合計133本。 |
| 第1回・大問1 | (4) | 37個 | A、B、Cの個数をa、b、cとする。a+b+c=180、a+b=c+18よりc=81、a+b=99。100a+50b+30×81=9230、すなわち2a+b=136なのでa=37。 |
| 第1回・大問1 | (5) | 5時間24分 | 2時間で進む仕事は1/5+1/6=11/30。4時間で11/15、5時間目のAで1/5進み、残りは1/15。Bは(1/15)÷(1/6)=2/5時間=24分かかる。 |
| 第1回・大問2 | (1) | 28.26cm² | ABは点Bを中心に90度回る半径6cmの線分なので、通過部分は半径6cm、中心角90度のおうぎ形。6×6×3.14÷4=28.26。 |
| 第1回・大問2 | (2) | 28.26cm² | ABをBから高さtの細い部分に分ける。点Cのまわりに少し回したとき、各部分が横切る幅はtに比例するため、0から6までの細片を並べ直すと半径6cm、中心角90度のおうぎ形と同じ面積になる。よって28.26。 |
| 第1回・大問2 | (3) | 47.1cm² | 正六角形の外角は60度。CDは上向きから辺XYの右下向きまで90+60=150度回る。通過面積は回転角に比例するので28.26×150/90=47.1。 |
| 第1回・大問2 | (4) | 正16角形 | 90度回したときの面積が28.26cm²だから、回転角は90×35.325/28.26=112.5度。正n角形の外角を360/n度とすると112.5=90+360/nよりn=16。 |
| 第1回・大問3 | (1) | 6分後 | Qの1周目は60÷15=4分、2周目は60÷30=2分なので、Aへ2回目に着くのは4+2=6分後。 |
| 第1回・大問3 | (2) | 分速5m | 最初の3分間はPとQが逆向きなので、初めて重なるまでに2点が進んだ道のりの和は1周60m。Pの速さをvとすると3(v+15)=60よりv=5。 |
| 第1回・大問3 | (3) | 4分48秒後 | 4分後、QはA、PはAから20mの位置にいて、同じ向きへ進む。QがPへ追いつく時間は20÷(30-5)=4/5分=48秒なので、出発から4分48秒後。 |
| 第1回・大問3 | (4) | 12分後 | PがAへ戻るのは12分ごと。QがAへ戻る時刻は4分、6分、10分、12分、……なので、初めて同時にAへ戻るのは12分後。 |
| 第1回・大問3 | (5) | 52分48秒後 | 0〜24分で各区間の位置を直線で表すと、重なる時刻は3、24/5、15/2、12、120/7、21、156/7、24分の8回。24分後に速さと向きの状態が元へ戻るため、16回目は48分、18回目は48+24/5=264/5分=52分48秒。 |
| 第1回・大問4 | (1) | 2、6 | 4+7=11、1+1=2なので【47】=2。9+8+7=24、2+4=6なので【987】=6。 |
| 第1回・大問4 | (2) | 8、17、26、35、44 | 各位の和をくり返した値は9を足すごとに同じになる。【A】=8の最小の数から9ずつ増やして8、17、26、35、44。 |
| 第1回・大問4 | (3) | 11個 | 【A】=9となるのは9の倍数。1から99までには9、18、……、99があり、99÷9=11個。 |
| 第1回・大問4 | (4) | 111個 | 【A】=1となるのは9で割って1余る正の整数。1、10、……、991の等差数列で、(991-1)÷9+1=111個。 |
| 第1回・大問4 | (5) | 55500 | 【A】=5となる数は5、14、……、995。項数は(995-5)÷9+1=111だから、和は(5+995)×111÷2=55500。 |
| 第1回・大問5 | (1) | 2通り、3通り、4通り | 3文字で右端がBなら、規則に合うのはAAB、ABBの2通り。3文字で右端がCなら、AAC、ABC、ACCの3通り。3文字で右端がDなら、AAD、ABD、ACD、ADDの4通り。 |
| 第1回・大問5 | (2) | 20通り | 末尾がA、B、C、Dである文字列の個数を順に足し上げると、2文字では1、1、1、1、3文字では1、2、3、4、4文字では1、3、6、10。合計20通り。 |
| 第1回・大問5 | (3) | 20通り | 5文字目をDに固定すると、その直前までの4文字は規則に合う任意の文字列にできる。4文字の文字列は20通りなので20通り。 |
| 第1回・大問5 | (4) | 84通り | 同じ累積表を続けると、5文字は1、4、10、20、6文字は1、5、15、35、7文字は1、6、21、56。合計84通り。 |
| 第1回・大問6 | (1) | 2：1 | 三角形FEHでM、Nは2辺の中点なのでMNはFHに平行で長さはFHの1/2。したがってFH：MN=2：1。 |
| 第1回・大問6 | (2) | 4：1 | 中間平面IJKLは高さを半分に切るため、P、QはそれぞれAM、ANの中点。三角形AMNでPQ=MN/2=FH/4だからFH：PQ=4：1。 |
| 第1回・大問6 | (3) | 2：1 | — |
| 第1回・大問6 | (4) | 1：1 | Xの高さは2/3で、中間平面の高さは1/2。Xから底面までの高さの1/4だけ進んだ位置でXF、XHを切るのでYZ=FH/4。PQもFH/4だからPQ：YZ=1：1。 |
| 第1回・大問6 | (5) | 1：4：3 | IK上の位置をIからKまで0〜1で表す。PQとの交点は1/8、YZとの交点は5/8だから、区間長は1/8、4/8、3/8となり1：4：3。 |
| 第2回・大問1 | (1) | 1/3 | 1.5-1/6=4/3なので、中かっこ全体は(4/3)÷2=2/3。3/8との差は7/24だから、(□-1/4)÷(2/7)=7/24。よって□-1/4=1/12、□=1/3。 |
| 第2回・大問1 | (2) | 2.75% | 全体を4とすると、食塩の量は5×1+2×3=11に対応する。11÷4=2.75より2.75%。 |
| 第2回・大問1 | (3) | 20枚 | タイル2枚を180度回して組み合わせると6cm×15cmの長方形になる。この長方形を縦横に並べて作れる最小の正方形は1辺30cmで、面積900cm²。タイル1枚は3×10+3×5=45cm²だから900÷45=20枚。 |
| 第2回・大問1 | (4) | 55分23と1/13秒 | 長針は1分に6度、短針は1分に0.5度進む。合計は1分に6.5度なので360÷6.5=720/13分=55分23と1/13秒。 |
| 第2回・大問1 | (5) | 11、12、30、41 | 4数を小さい順にa<b<c<dとする。最小和a+b=23、次の和a+c=41。3番目42がb+cなら、b+c=42とc-b=18からb=12、c=30、a=11。4番目a+d=52からd=41。a+d=42と仮定すると4番目が44となり条件に合わない。 |
| 第2回・大問2 | (1) | 450人 | Aさんは1分15人を30分受け付けるので15×30=450人。 |
| 第2回・大問2 | (2) | 5人 | 最初の人数をN人、1分に加わる人数をr人とする。AではN+30r=450、BではN+20r=400。差を取ると10r=50だからr=5人。 |
| 第2回・大問2 | (3) | 300人 | Aの式N+30×5=450からN=300人。 |
| 第2回・大問2 | (4) | 37分30秒 | Cさんの受付人数を1分c人とする。最初4分の行列の減少は1分30+c人、その後16分は1分c-5人。300=4(30+c)+16(c-5)からc=13。Cだけなら1分に13-5=8人ずつ減るので300÷8=37.5分。 |
| 第2回・大問3 | (1) | 6、5、4 | 1/16=0.0625なので最初の0以外の数字は6。1/17=0.0588…なので最初の0以外の数字は5。1/21=0.0476…なので最初の0以外の数字は4。 |
| 第2回・大問3 | (2) | 11 | 2桁のnでは、nが11以上なら〈1/n〉は100÷nの商に等しい。商が9になるのは11だけ。 |
| 第2回・大問3 | (3) | 13、14 | 100÷nの商が7となる範囲は12.5<n≤100/7。2桁の整数は13と14なので、小さい方は13。同じ範囲12.5<n≤100/7に入るもう一つの整数は14。 |
| 第2回・大問3 | (4) | 5個 | 100÷nの商が4となるのは20<n≤25。21、22、23、24、25の5個。 |
| 第2回・大問3 | (5) | 17個 | 100÷nの商が2となるのは100/3<n≤50。34から50までで50-34+1=17個。 |
| 第2回・大問3 | (6) | 190 | 11～99を〈1/n〉の値で分けると、9から1までの個数は順に1、1、2、2、4、5、8、17、49。したがって9+8+14+12+20+20+24+34+49=190。 |
| 第2回・大問4 | (1) | 25：23 | AP=p、BQ=qとすると、左側と右側の面積比は(p+q)：(48-p-q)。1秒後はp=3、q=22なので25：23。 |
| 第2回・大問4 | (2) | 2：1 | 8秒後はPがDに着いてp=24、QはCから16cm進んでq=8。よって32：16=2：1。 |
| 第2回・大問4 | (3) | 1：3 | 12秒後はPがDから12cm戻ってp=12、QはBに着いてq=0。よって12：36=1：3。 |
| 第2回・大問4 | (4) | 9.6秒後 | 面積が等しい条件はp+q=24。8～12秒ではp=48-3t、q=24-2tなので72-5t=24。t=9.6秒。 |
| 第2回・大問4 | (5) | 28.8秒後 | 等面積の時刻を区間ごとに求める。2回目は16～24秒で(3t-48)+(2t-24)=24から19.2秒。3回目は24～32秒で(96-3t)+(72-2t)=24から28.8秒。 |
| 第2回・大問5 | (1) | 26人 | Aだけ借りている人数をx、どちらでも借りない人数をnとする。Aで借りずBで借りる人数は3x。3x+n=62、x+n=38よりx=12、n=26。 |
| 第2回・大問5 | (2) | 166人 | Aだけ12人、Bだけ36人、どちらでも借りない26人なので、両方で借りる人数は240-12-36-26=166人。 |
| 第2回・大問5 | (3) | 90人 | Aで借りる生徒は240-62=178人。2冊以上が80人なので1冊だけは98人。A1冊でBなしは、Aだけ12人からA2冊以上でBなし4人を引いて8人。よって98-8=90人。 |
| 第2回・大問5 | (4) | 25人 | A1冊・B1冊の人数とA2冊以上・B2冊以上の人数をともにz人とする。A1冊でBを借りる90人のうちB2冊以上は90-z人。B2冊以上115人は、Aなしの求める人数、90-z人、z人の和なので、115-90=25人。 |
| 第2回・大問6 | (1) | 5、2、6 | 初めを上1・手前2・右3とする。道順①は右・右・下。上の面を順に4、6、5と移すので5。道順②は下・右・右。上の面は5、4、2と移るので2。道順③は右・下・右。上の面は4、5、6と移るので6。 |
| 第2回・大問6 | (2) | イ、カ | 各道順の上面を追うと、ア、イ、ウ、エ、オ、カは順に1、6、1、3、2、6。したがって一つ目はイ。同じ表で上面が6となるもう一つの道順はカ。 |
| 第2回・大問6 | (3) | 2通り、1通り、5通り | Aを通るには最初の2回を右・右とする。AからQまでの6通りを調べると、Qで上面1となるのは2通り。Bまでの3道順のうち、Bで上面6となるのは右・下・右だけ。その状態からQへ進み、上面1で着くのは1通り。右4回、下2回の15道順を上面ごとに仕分けると、Qで上面1となる道順は5通り。 |
| 第2回・大問6 | (4) | 5通り、2通り、10通り | Aまでは右・右で上面6。AからQまで右4回、下2回の15道順を追うと、Qでも上面6となるのは5通り。Bで上面6となる入り方は右・下・右だけ。BからQまで右4回、下1回の5道順のうち、Qでも上面6となるのは2通り。右6回、下2回の28道順を上面ごとに仕分けると、Qで上面6となるのは10通り。 |
