| 第1回・大問1 | — | 211/500 | 1 7/15=22/15、0.11=11/100なので、0.11×1 7/15=121/750。33×(1/5-1/9)=33×4/45=44/15=2200/750。和2321/750を22/3で割ると2321/750×3/22=211/500。 |
| 第1回・大問2 | — | 175.84cm³ | 底辺BC=3+4=7cm、面積21cm²なので高さADは6cm。回転すると、三角形ABCは下底半径4cm・高さ6cmの円すい、三角形DEFは上底半径4cm・高さ6cmの逆向きの円すいを作る。2つの円すいの体積の和は64π。共通部分は高さ3cm・半径2cmの円すい2個で8πだから、求める体積は56π=175.84cm³。 |
| 第1回・大問3 | (1) | 1280個 | 一番上の位は5通り。2桁目以降は、直前と異なる4種類から選ぶのでそれぞれ4通り。したがって5×4×4×4×4=1280個。 |
| 第1回・大問3 | (2) | 20個 | 使う2数字の選び方は5種類から2種類を選ぶ10通り。隣り合う数字を同じにできないので、選んだ2数字は交互に並ぶ。先頭の選び方が2通りあるから10×2=20個。 |
| 第1回・大問4 | (1) | 9：8 | Aが半周して向きを変えた17分後までの間隔は17(a-b)。向きを変えた後は速さの和a+bで近づき、1分後の18分に会うので17(a-b)=a+b。16a=18bよりa：b=9：8。 |
| 第1回・大問4 | (2) | 38分15秒 | Aは17分で半周するから1周は34分。速さがA：B=9：8なので、Bの1周時間はAの9/8倍。34×9/8=38.25分=38分15秒。 |
| 第1回・大問5 | (1) | 36回 | 120秒までの6、8、10の倍数を包除原理で数える。20+15+12-(5+4+3)+1=36回。最後の+1は120秒が3種類すべてに共通するため。 |
| 第1回・大問5 | (2) | Aのベル、時間 8分18秒後 | 120秒ごとに鳴り方が繰り返され、1周期36回なので480秒で144回。次は486秒A、488秒B、490秒C、492秒A、496秒B、498秒Aとなり、150回目はA。4周期後の480秒で144回。そこから6番目の音は498秒なので、498秒=8分18秒後。 |
| 第1回・大問6 | — | 250個、150個、600個 | 仕入れ数をクッキーc、カップケーキp、ドーナツdとする。売れ残りが同数よりc-150=p-50、すなわちp=c-100。合計から2c+d=1100。1日目利益は21000円、2日目は50(c-150)+75(d-100)円なので、2c+3d=2300。差をとるとd=600、よってc=250。クッキーとカップケーキの売れ残りが同数だから、p=c-100。クッキーc=250よりp=150。個数の式2c+d=1100と利益の式2c+3d=2300を引くと2d=1200。したがってd=600。 |
| 第1回・大問7 | (1) | 9cm³ | 立方体を、頂点B、D、E、G側の合同な四面体4個と中央の立体ACFHに分ける。各四面体の体積は3×3×3÷6=9/2cm³。よって27-4×9/2=9cm³。 |
| 第1回・大問7 | (2) | 8 23/35cm³ | — |
| 第1回・大問8 | (1) | 16：9 | AB=h、FB=f、f/h=t、AE=eとする。相似より三角形EGHの面積は9h(1-t)²/2、三角形FBGはeht²/2。等積からet²=9(1-t)²。またHI=(9-e)t=2。eを消去すると9t²-9(1-t)²=2t、よって16t=9。したがってAB：FB=1：t=16：9。 |
| 第1回・大問8 | (2) | 3 1/16cm | t=9/16、HI=(9-e)t=2より9-e=32/9、e=49/9。FG=et=(49/9)×(9/16)=49/16=3 1/16cm。 |
| 第1回・大問8 | (3) | 14 2/9cm | 三角形FBGの面積はFG×FB÷2=(49/32)f、三角形HICはHI×IC÷2=f。差は17f/32。これが4 1/4=17/4cm²なのでf=8cm。AB：FB=16：9よりAB=8×16/9=128/9=14 2/9cm。 |
| 第2回・大問1 | — | 2 5/6 | 空欄をxとする。1 2/5と9/10の差は1/2だから、(3 1/3-x×1/4)÷5 1/4=1/2。よって括弧内は21/8で、x/4=10/3-21/8=17/24。したがってx=17/6=2 5/6。 |
| 第2回・大問2 | (1) | 290行目、5列目 | 1行に7個ずつ並ぶので、2026=7×289+3から2026は上から290行目にある。290行目は2030から2024へ右向きに1ずつ小さくなる。2026は2030,2029,2028,2027,2026の5番目なので左から5列目。 |
| 第2回・大問2 | (2) | 591、600、605、614 | 左から3列目は、2行1組で14ずつ増える2列の並び3,12,17,26,31,40,…となる。22組目は43番目と44番目の2行組に当たり、最初は14×43-11=591。22組目の43番目の2行組にあるもう1つは14×43-2=600。次の44番目の2行組の小さい方は14×44-11=605。44番目の2行組の大きい方は14×44-2=614。したがって22組目は591,600,605,614。 |
| 第2回・大問3 | — | 72度 | θ=∠EBCとする。AE∥BC、AB=AEより∠ABE=∠BEA=θなので∠ABC=2θ。CD=AB=ECより三角形CDEは二等辺で、∠CDE=∠DEC=2θ。x=∠BECとすると直線AEDの下側でθ+x+2θ=180度。またBE=BCより2x+θ=180度。2式からθ=36度、x=72度。 |
| 第2回・大問4 | (1) | 11 | 最小の和はA+B=63、次に小さい和はA+C=74である。2式の差をとるとC-B=11。 |
| 第2回・大問4 | (2) | 37 | 最大の和はC+D=104で、4数の合計は(A+B)+(C+D)=167。したがって和は63と104、74と93、82と85が対になる。残るA+DとB+Cは82,85のどちらか。C=B+11なのでB+C=2B+11は奇数となり85。よって2B+11=85からB=37。 |
| 第2回・大問5 | (1) | 7：2 | — |
| 第2回・大問5 | (2) | 27：8：10 | DE全体を45等分すると、GはDから3/5=27/45、Hは7/9=35/45の位置にある。したがってDG：GH：HE=27：(35-27)：(45-35)=27：8：10。 |
| 第2回・大問5 | (3) | 32/585倍 | — |
| 第2回・大問6 | — | 1893.42cm³ | 上部6cmは、外側の半径12cmから6cmへの円すい台から、半径6cm・高さ6cmの円すいを引き、504π-72π=432π。次の高さ3cmは半径6cmから3cmへの円すい台で63π。下部12cmは半径3cmの円柱で108π。合計603π=1893.42cm³。 |
| 第2回・大問7 | (1) | 分速200m | 学校と図書館の距離は、AとCが10分で出会うので(80+40)×10=1200m。Bは1200÷40=30分で到着する。Aは出発10分後の地点から10分かけて学校へ戻り、4分後の24分に再出発する。残り6分で1200m進むので1200÷6=分速200m。 |
| 第2回・大問7 | (2) | 4分後 | 再出発後の時刻を出発からt分とすると、AとCの2回目の出会いは200(t-24)=1200-40tよりt=25分、学校から200mの地点。Bはその時40×25=1000m地点Pにいる。AがPを通るのは24+1000÷200=29分なので、2回目の出会いから4分後。 |
| 第2回・大問8 | (1) | 2：3 | 収穫数をA=a、B=bとする。交換後はAが2a/3+b/4、Bがa/3+3b/4。比5：7より7(8a+3b)=5(4a+9b)。整理すると36a=24bなのでa：b=2：3。 |
| 第2回・大問8 | (2) | 115個 | a=2k、b=3kと置くと交換後はA=25k/12、B=35k/12。最後の共通個数をNとすると、AからN=25k/12-25。全体保存より3N=5k+60。この2式から25k-300=20k+240、k=108、N=200。Cは60+25=85個になっているので、Bが渡した数は200-85=115個。 |
