筑駒2026年度算数の解説｜カメラ・回転配置・円周上の動点・角度

(1) 1・12・13・19の4台で見える区画

1からは2・6、12からは7・11・13・17、13からは8・12・14・18、19からは14・18・20・24が見えます。14と18が2回ずつ出てくるので、重なった2個を引きます。

2＋4＋4＋4−2＝12

答え　12個

見える番号を小さい順に並べると、2・6・7・8・11・12・13・14・17・18・20・24の12個です。

(2) 6台の最小と最大

最小の配置例は1・3・5・7・9・11。見える区画は2・4・6・8・10・12・14・16の8個です。見える範囲を重ねて、区画数を減らしています。

最大の配置例は1・2・9・10・17・18。見える区画は1・2・3・4・5・6・7・8・9・10・12・13・14・15・16・17・18・19・22・23の20個です。

配置例だけでは最小・最大の証明になりません。25か所から6か所を選ぶ177,100通りについて、隣の番号を重複なく数えると8〜20個となります。8個となる配置は16通り、20個となる配置は212通りでした。下の確認表と短い計算プログラムで、この上下限を再現できます。

答え　最小8個・最大20個

6台の合計範囲を単純に足すと、同じ区画を何度も数えるため最大値を誤ります。

(3) 全25区画が見える最少台数

1・2・4・9・12・17・19・20・22の9台なら、25区画のすべてを見られます。特に四隅1・5・21・25と、カメラを置いた区画自身に印が付くかを確かめます。

8台の配置1,081,575通りを同じ方法で数えると、最大でも24区画でした。8台より少ない配置には、空いている場所へカメラを足して8台にできます。追加して見える範囲が減ることはないため、8台以下で全25区画を見る配置もありません。9台の例と合わせて最少9台と分かります。

答え　9台

カメラを置いた区画を無条件に見えると数えないことが大切です。

(1) 赤1枚・白53枚

赤を置く場所は54か所。どのタイルも、60度・120度・180度など途中の回転では自分の位置へ戻りません。同じ種類を6回ずつ数えているので6で割ります。

54÷6＝9

答え　9種類

(2) 赤1枚・青1枚・白52枚

赤は54か所、青は残り53か所です。赤と青は別の色なので、回転で2枚の場所が入れ替わっても同じ配置にはなりません。赤が元へ戻る一周まで6配置を一組にできます。

54×53÷6＝477

答え　477種類

(3) 赤2枚・白52枚

2枚は同じ赤なので、場所の選び方は54×53÷2＝1,431通りです。このうち正反対に置く27配置だけは180度回転でも一致します。

正反対の27配置は、60度ずつ回すと3配置で一組になります。それ以外の1,404配置は6配置で一組です。分けてから割ります。

(1,431−27)÷6＋27÷3＝234＋9＝243

答え　243種類

赤1枚と青1枚の477種類を2で割るだけでは、180度対称の配置を正しく数えられません。

(1) 初めて重なる時刻

初めの間隔は半周の180cm。向かい合う2点の間隔は毎秒7＋3＝10cm縮みます。

180÷(7＋3)＝18

答え　18秒後

Pは126cm、Qは54cm進み、合計180cmになります。

(2) PがB、QがAへ同時に来る時刻

それぞれが反対側へ来る道のりは、180cmに360cmを何周分か足した値です。Qは60・180・300・420…秒後にAへ来ます。

60秒後のPは420cm進んでおり、Bではありません。180秒後のPは1,260cm＝180cm＋360cm×3進んでいるのでBにいます。Qも540cm＝180cm＋360cm進んでAにいます。

答え　180秒後

最初の候補60秒を除き、次の180秒が両方の条件を満たします。

(3) APとAQが等しくなる回数

同じ長さの弦になる2つの場合を分けます。まずPとQが重なる時刻は、18秒後が最初で、その後は1周分360cmを速さの和10cm/秒で進む36秒ごとです。

18・54・90・126・162・198・234・270・306・342・378・414・450秒の13回です。

次に直線AOについて対称な位置を考えます。Aから時計回りに測るとPの位置は7t、Qの位置は180−3tです。対称になる条件では2つの位置の和が360の倍数なので、180＋4tが360の倍数になります。45秒後が最初、その後は90秒ごとです。

45・135・225・315・405秒の5回です。2つの列には共通の時刻がないので重複はありません。

13＋5＝18

答え　18回

480秒を超える次の時刻486秒・495秒は数えません。PがQに重なる回を5回と取り違えないよう、進む向きから和・差を決めます。

(1) 60度・40度の三角形の辺

左図の三角形BFCが求める形です。元のAは辺FC上にあります。角ABFは60−40＝20度、角BAFは180−100＝80度。角BFAも80度なので、三角形ABFはAB＝BFの二等辺三角形です。

答え　15cm

求める辺BFは元の辺ABと等しく、底辺BC＝23cmをそのまま使えます。

(2) 120度・20度の三角形の辺

BC上にBD＝15cmとなるDを取り、BDを一辺とする正三角形BDFを作ります。BA＝BF＝15cm、角ABF＝20度より、角BAF＝80度です。角BAC＝100度と合わせると180度なので、F・A・Cが一直線に並びます。

三角形FDCはDが120度、Cが40度、Fが20度で、FD＝15cm。問題の(2)と同じ形です。求める20度の向かい側はDCなので、BCからBDを引きます。

DC＝23−15＝8

答え　8cm

15cmの辺は正三角形のFD、8cmの辺は底辺BCの残りDCです。

(3) 100度・10度の三角形の辺

右図ではBAをAの先へ延長し、CF＝BC＝23cmとなるFを取ります。三角形BCFはBとFが40度、Cが100度なので、元の三角形BACと相似です。BF/BC＝BC/BAから、BF＝23×23÷15＝529/15cm。

BF上にBD＝BC＝23cmとなるDを取ると、AD＝23−15＝8cmです。三角形BCDは二等辺で、CとDが70度。三角形ACDの角はAが80度、Cが30度、Dが70度です。

FからFBと30度の角をなす線をBCへ引き、交点をE、ACとの交点をGとします。三角形CFEはCが100度、Fが10度、Eが70度で、問題の(3)と同じ形になります。

三角形AFGの角はAが80度、Fが30度、Gが70度。三角形ACDと相似なので、AG/AD＝AF/ACです。AFはBF−BA＝529/15−15＝304/15cm。

AG＝8×(304/15)÷15＝2,432/225cmです。三角形CGEはCが40度、GとEが70度なのでCG＝CE。求めるCEはACからAGを引けば求まります。

CE＝15−2,432/225＝943/225＝4と43/225

答え　4と43/225cm（近似）

BCを23cmと置く近似の使い方によって、4と4/15cmとなる解き方もあります。ここでは図の相似を順に使った近似値を示しています。角だけを見て15等分を置くのではなく、対応する辺を確かめます。